Clément Galopin Matériel didactique
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Pour quel public ? Elèves de 2
e
année d’école de culture générale (ECG)
Sur quel thème ? Les progressions
Thème de la leçon
L’enseignant entame avec la classe un nouveau sujet : les progressions arithmétiques et
géométriques. La leçon sera une première introduction à ce sujet.
Savoir savant en rapport avec la leçon
Le sujet est introduit aux élèves par le biais d’une situation-problème faisant intervenir la notion de
progression arithmétique.
Les progressions arithmétiques
Une progression arithmétique est une suite de nombres telle que chacun d’eux sauf le premier est
égal au précédent augmenté d’un nombre constant. Ce nombre constant s’appelle la raison de la
progression arithmétique. Chacun des nombres est un terme de la progression arithmétique.
Une progression arithmétique peut comporter un nombre fini ou infini de termes. Dans ce cas-là, le
premier et dernier termes en sont les termes extrêmes.
On désigne le i
ème
terme d’une progression par une lettre indicée entre parenthèses, par exemple
.
Ici, est dit le rang du terme. Les termes
,
,… sont des termes particuliers tandis que le terme
(une lettre indicée d’une lettre) est le terme général de la progression. La progression elle-même
se laisse alors noter par ce terme général entre parenthèses. Par exemple, une suite de 10 termes
peut être notée par
, pour . Lorsque la précision n’est pas nécessaire
(suivant le contexte, lorsque ), nous pouvons noter la progression simplement par
. Nous
essayerons néanmoins d’éviter ce formalisme par des paraphrases de circonstance.
Nous noterons par la suite
le premier terme d’une progression arithmétique et sa raison. Une
progression arithmétique s’écrit alors comme
,
,
,
,
ou
,
,
,
,
.
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Somme des termes d’une progression arithmétique finie
Nous voulons calculer la somme
des premiers termes d’une suite arithmétique
de raison .
Nous considérons le calcul suivant (addition membre à membre).
Il est en outre remarquable que chaque terme d’une progression arithmétique (sauf le premier et s’il
existe le dernier) est égal à la moyenne arithmétique des deux termes qui l’encadrent.
Exercices typiques pour ce contenu
1) On enroule sur un cylindre de 15 cm de diamètre du papier de 0,02 mm d’épaisseur. Estimer la
longueur du papier enroulé si le diamètre du rouleau final est de 27,2 cm.
2) Une suite arithmétique a comme premier terme 6 et comme raison 7. La somme des termes est
41094. Quel est le nombre de termes ?
Objectifs et buts
Objectifs généraux
Parmi les objectifs généraux indiqués dans le plan d‘études romand (PER) ainsi que plus
spécifiquement dans le plan des études gymnasiales pour les mathématiques, la leçon poursuivra à
divers degrés les objectifs suivants :
- Développement des capacités transversales : car les élèves doivent collaborer.
- Démarche réflexive et sens critique : car les élèves doivent choisir la méthode adéquate.
- Développement de la démarche intellectuelle : car les élèves sont amenés à conjecturer une
relation fonctionnelle entre deux grandeurs. Le problème posé soutient cependant aussi bien une
approche empirique (sur la base d’essais avec des valeurs numériques), que géométrique ou
algébrique (plusieurs chemins sont possibles, le problème est ouvert).
- Perception de l’utilité des mathématiques : car les élèves acquièrent des connaissances opératoires.
- Attitude : aimer les jeux de l’esprit.
Objectif spécifique
Le but de toute l’unité d’enseignement sur les progressions consiste à apprendre à connaître les
spécificités des progressions arithmétiques et des progressions géométriques et à en employer le
concept dans des situations concrètes, par exemple dans le cadre des mathématiques financières.
But de la leçon: En essayant de résoudre une situation-problème, les élèves sont amenés à formuler
un lien fonctionnel entre deux grandeurs et ainsi à reconnaître une progression arithmétique dont ils
doivent calculer la somme. L’établissement des formules correspondantes, éventuellement lors
d’une leçon ultérieure, sera ainsi motivé au regard des élèves.
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Les buts intermédiaires sont indiqués dans le plan de déroulement de la leçon.
Pertinence du sujet
Dans la carrière scolaire d’un élève, la notion de progression (arithmétique ou géométrique) est une
première étape vers la compréhension des raisonnements récursifs, très présents dans les domaines
scientifiques. De plus, les motifs de progressions arithmétiques et géométriques sont nombreux dans
la nature et notre quotidien. La notion de progression permet ainsi d’appréhender la difficulté de
certains raisonnements de mise en abîme et offre un terrain d’application à la future notion de
limite. Il en va ainsi de nombreux calculs d’aire ou de longueur et même de taux d’intérêts composés
(taux par année, par mois, par jour, par heure,…).
Les connaissances dont la classe dispose déjà (prérequis à cette leçon)
Suivant la classe et le contexte, l’enseignant pourra remarquer si oui ou non…
…la classe a fait ces dernières semaines la connaissance de la notion de fonction. Si c’est bien le cas,
l’enseignant aura vérifié que la notion de fonction a été correctement introduite, d’abord par la
présentation des fonctions linéaires puis par celle des fonctions quadratiques.
…les élèves savent résoudre des équations linéaires dans lesquelles apparaissaient x et y, sans qu’il
soit exigé pour autant que les élèves conçoivent déjà l’inconnue y comme étant une fonction de x. La
notion de fonction est en effet supposée nouvelle pour la classe.
L’enseignant testera donc les prérequis au moins sommairement avant d’entamer cette leçon sur les
progressions.
Contexte de la classe et différentiation
La classe a-t-elle su jusqu’ici se montrer participative ? Si c’est le cas, elle peut tout à fait s’engager
avec motivation dans la résolution d’une situation-problème. A noter qu’il y a bien souvent, dans les
classes ECG, quelques élèves qui ont passé une année au gymnase et qui ont un assez bon niveau en
mathématiques.
Le déroulement de la leçon d’épreuve prévoit de laisser les élèves résoudre une situation-problème
(voir feuille de travail). Il est tout à fait possible que certains élèves arrivent rapidement à la solution
tandis que d’autres se retrouvent bloqués. Ces élèves rapides auront peut-être obtenu leur réponse
par induction sur la base d’essais numériques (voir paragraphe suivant pour les diverses approches)
ou encore auront privilégié une approche géométrique. Je passerai donc auprès de ces élèves rapides
en les enjoignant de trouver une solution algébrique, non pour une valeur particulière de n (dans le
problème, n=25) mais pour le cas général (n variable). Aux éventuels groupes qui auraient fini cela
aussi, je leur demanderai d’exprimer verbalement en groupe leur démarche sous forme de stratégie
étape par étape (« D’abord, nous cherchons cela, plus nous calculons ceci,… »). Plusieurs chemins
très différents mènent à la solution de ce problème.
Si la classe devait ne pas avoir de difficulté à résoudre ce problème, je pourrais alors passer au but
intermédiaire 2 (voir plus loin la planification de la leçon) plus rapidement, non sans avoir présenté
les diverses approches possibles du problème (voir prochain paragraphe).
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Motivation du point de vue didactique
Directement suite à l’ouverture de la leçon, les élèves seront confrontés à une situation-problème
très motivante et qui constitue donc en soi un bon ancrage.
Il s’agit du problème consistant à trouver le nombre de cartes nécessaires à construire un château de
cartes ayant 25 étages. L’aspect ludique est mis en avant. On peut entamer le problème de diverses
façons. Tout d’abord, on peut essayer de calculer exhaustivement (les informaticiens diraient en
« brute force ») le nombre de cartes pour 1, 2, 3, 4, 5,… étages et tenter d’induire une régularité
permettant de passer à l’étage suivant.
On peut également faire des considérations géométriques. Le
passage d’un étage au suivant peut bien entendu se concevoir de la
façon naturelle, à savoir en comptant véritablement les cartes du
nouvel étage (ajout horizontal à la pyramide). Mais le passage d’un
étage au suivant peut aussi se concevoir comme l’ajout d’un pan
(oblique) à la pyramide, ce qu’illustre le dessin ci-contre. En gras, ce
sont les cartes que l’on ajoute pour faire grandir la pyramide d’un
étage supplémentaire. Cette dernière approche présente l’avantage que la progression est régulière
tandis que si on conçoit la progression étage par étage (horizontalement), alors le premier étage est
différent des autres car, contrairement à ceux-ci, il n’est pas composé de triangles mais seulement de
« V » retournés. Une fois la régularité identifiée (dans ce dernier cas, à partir du deuxième étage), les
élèves peuvent travailler en « brute force » pour obtenir le nombre de cartes nécessaires à une
pyramide de 25 étages. Ce problème se laisse aussi résoudre par une approche algébrique. C’est
cette dernière approche qui est idéalement celle à laquelle les élèves devraient arriver. Le choix du
nombre d’étages est important dans la perspective d’orienter le type d’approche que les élèves vont
développer. En effet, si le nombre d’étages est petit, l’approche « brute force » est la plus rapide : on
repère une régularité et on calcule ensuite un à un les termes de la série avec la machine à calculer.
Si le nombre d’étages est élevé ou alors si la machine à calculer est interdite, les élèves sont
confrontés au problème de déterminer la somme d’une progression arithmétique finie. C’est à ce
moment-là que l’élève envisage l’utilisation d’une variable – disons n – pour le nombre d’étages et
d’un rapport fonctionnel entre ce n et le nombre de cartes nécessaires. Mais il est probable que cette
« variable didactique » n doive être fixée à – disons – 100 afin de décourager définitivement tout
élève d’adopter l’approche « brute force ». Je souhaite néanmoins qu’aucune approche ne soit ainsi
définitivement découragée et c’est pourquoi je reste à n=25.
Afin d’aider les élèves à amorcer le problème, j’ai mis sur la feuille de travail une structure de tableau
qui invite à d’abord essayer quelques valeurs concrètes. Rien de plus.
Le choix du problème, qui est un problème ouvert admettant plusieurs approches, permet bien
d’atteindre les objectifs généraux et spécifiques donnés plus haut.
Comment poursuivre ?
Dans une prochaine leçon, il faudrait d’abord corriger l’exercice du but intermédiaire 2 (voir plan de
la leçon), dont seule la solution numérique est donnée pour autocorrection par l’élève. Il est ensuite
possible de continuer par quelques exercices plus simples ayant pour but de fixer la notion de
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progression arithmétique, puis d’introduire les relations que j’ai présentées au chapitre « savoir
savant en rapport avec la leçon ». Ces relations seront alors motivées par la situation-problème à
laquelle les élèves se sont confrontés auparavant.
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Plan de déroulement de la leçon
But de la leçon: En essayant de résoudre une situation-problème, les élèves sont amenés à formuler
un lien fonctionnel entre deux grandeurs et ainsi à reconnaître une progression arithmétique dont ils
doivent calculer la somme. L’établissement des formules correspondantes, éventuellement lors
d’une leçon ultérieure, sera ainsi motivé au regard des élèves.
Temps
Objectifs et activité de l‘élève
Enseignant, méthode, matériel
2‘
3‘
20‘
de 10‘ à 15‘
reste de la
leçon (si plus
rapide que
prévu)
4‘ avant la fin
de la leçon
But intermédiaire 1: Les élèves tentent de
résoudre la situation-problème du château
de cartes.
Phase d‘instruction : Input
Phase de travail de la matière : Les élèves
s’attaquent au problème.
Phase d’institutionnalisation : La classe
discute des diverses tentatives. Une solution
est présentée (si possible) par un élève puis
discutée.
But intermédiaire 2: Les élèves travaillent la
notion de progression arithmétique sur un
exercice illustratif.
Instructions : donnée de l‘exercice
Phase de travail : Les élèves font l‘exercice
Contrôle : individuel. La réponse numérique
se trouve sur la feuille d‘exercice
Mot de la fin
Accueil et présentation
Instructions de travail puis
distribution des feuilles de travail
Forme sociale : en groupes de trois
Durée : 20’
But : fournir une réponse motivée
En seconde partie d’institution-
nalisation (après le passage d’un
élève), l’enseignant met en évidence
les aspects les plus importants à
retenir. Il poursuit le raisonnement
vers la solution du problème si celui-
ci n’a pas été mené jusqu’au bout.
L’enseignant distribue une feuille
d’exercice (si le temps le permet).
Devoir : terminer l’exercice
Bibliographie
Hubert Bovet : Mathématiques, diplôme, tome 1, 2008, éditions Polymaths, Oron-Le-Châtel
Internet : Michel Henry : Le concept de fonction dans les problèmes du RMT, IREM de Besançon. J’en
tire l’exemple du château de cartes.
